Формула связывающая приращение потенциалов и напряжение

Электрическое поле можно описать либо с помощью векторной величины Е, либо с помощью скалярной величины . Очевидно, что между этими величинами должна существовать определенная связь. Если учесть, что Е пропорционально силе, действующей на заряд, а — потенциальной энергии заряда, легко сообразить, что эта связь должна быть аналогична связи между потенциальной энергией и силой.

Сила F связана с потенциальной энергией соотношением

(см. формулу (22.7) 1-го тома). Для заряженной частицы, находящейся в элекростатическом поле, .

Подставив эти значения в соотношение (8.1), получим, что

Константу q можно вынести за знак градиента. Осуществив это и сократив затем на q, придем к формуле

(8.2)

устанавливающей связь между напряженностью поля и потенциалом.

Приняв во внимание определение градиента (см. формулу (22.6) 1-го тома), можно написать, что

Следовательно, в проекциях на координатные оси соотношение (8.2) имеет вид

Аналогично проекция вектора Е на произвольное направление I равна взятой с обратным знаком производной по , т. е. скорости убывания потенциала при перемещении вдоль направления :

В справедливости формулы (8.5) легко убедиться, выбрав направление в качестве одной из координатных осей и приняв во внимание соотношения (8.4).

Поясним соотношение (8.2) на примере поля точечного заряда. Потенциал этого поля выражается формулой (6.7). Перейдя к декартовым координатам, получим выражение:

Частная производная этой функции по х равна

Подставив найденные значения производных в формулу (8.3), придем к выражению

которое совпадает с (5.3).

Формула (8.2) позволяет по известным значениям найти напряженность поля в каждой точке. Можно решить и обратную задачу, т. е. по заданным значениям Е в каждой точке найти разность потенциалов между двумя произвольными точками поля. Для этого воспользуемся тем, что работа, совершаемая силами поля над зарядом q при перемещении его из точки 1 в точку 2, может быть вычислена как

Вместе с тем в соответствии с (6.10) та же работа может быть представлена в виде

Приравняв друг другу эти два выражения и сократив на q, придем к соотношению

Интеграл можно брать по любой линии, соединяющей точки 1 и 2, ибо работа сил поля не зависит от пути. Для обхода по замкнутому контуру и формула (8.6) переходит в соотношение

(кружок у знака интеграла указывает на то, что интегрирование производится по замкнутому пути). Заметим, что это соотношение справедливо только для электростатического поля. Впоследствии мы выясним, что поле движущихся зарядов (т. е. поле, изменяющееся со временем) не является потенциальным; следовательно, условие (8.7) для него не выполняется.

Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью. Ее уравнение имеет вид

При перемещении по эквипотенциальной поверхности на отрезок потенциал не изменяется Следовательно, согласно формуле (8.5) касательная к поверхности составляющая вектора Е равна нулю. Отсюда заключаем, что вектор Е в каждой точке направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности, проходящей через данную точку. Приняв во внимание, что вектор Е направлен по касательной к линии Е, легко сообразить, что линии напряженности в каждой точке ортогональны к эквипотенциальным поверхностям.

Эквипотенциальную поверхность можно провести через любук точку поля. Следовательно, таких поверхностей может быть по строено бесконечное множество. Условливаются проводить поверх ности таким образом, чтобы разность потенциалов для двух соседни: поверхностей была всюду одна и та же. Тогда по густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине напряжен ности поля. Действительно, чел гуще располагаются эквипотенциальные поверхности, тем быстрее изменяется потенциал при перемещении вдоль нормали к поверхности. Следовательно, тем больше i данном месте у а значит и Е.

Читайте также:  Роквул для кровли технические характеристики

На рис. 8.1 показаны эквипотенциальные поверхности (точнее их пересечения с плоскостью чер тежа) для поля точечного заряда В соответствии с характером зави симости Е от эквипотенциальньн поверхности при приближении i заряду становятся гуще.

Для однородного поля эквипотенциальные поверхности пред ставляют собой систему равноотстоящих друг от друга плоскостей перпендикулярных к направлению поля.

Электростатическое поле имеет две характеристики: силовую (напряжённость) и энергетическую (потенциал). Напряжённость и потенциал – различные характеристики одной и той же точки поля, следовательно, между ними должна быть связь.

Работа по перемещению единичного точечного положительного заряда из одной точки в другую вдоль оси х при условии, что точки расположены бесконечно близко друг к другу и х1– х2 = dx , равна qЕхdx. Та же работа равна q(φ1 – φ2 )= -dφq. Приравнивая оба выражения, можем записать

Повторив аналогичные рассуждения для осей у и z, можем найти вектор :

где – единичные векторы координатных осей х, у, z.

Из определения градиента следует, что

или (12.31)

т.е. напряжённость поля Е равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус определяется тем, что вектор напряжённости Е поля направлен в сторону убывания потенциала.

Установленная связь между напряжённостью и потенциалом позволяет по известной напряжённости поля найти разность потенциалов между двумя произвольными точками этого поля.

Ø Поле равномерно заряженной сферы радиусом R

Напряжённость поля вне сферы определяется по формуле

(r >R)

Разность потенциалов между точками r1 и r2 (r1>R; r2 >R ) определим, используя соотношение

Потенциал сферы получим, если r1= R, r2 → ∞:

Ø Поле равномерно заряженного бесконечно длинного цилиндра

Напряжённость поля вне цилиндра (r >R) определяется формулой

(τ – линейная плотность).

Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстоянии r1 и r2 (r1>R; r2 >R ) от оси цилиндра, равна

(12.32)

Ø Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

Напряжённость поля этой плоскости определяется формулой

(σ – поверхностная плотность).

Разность потенциалов между точками, лежащими на расстоянии х1 и х2 от плоскости, равна

(12.33)

Ø Поле двух разноименно заряженных бесконечных параллельных плоскостей

Напряженность поля этих плоскостей определяется формулой

Разность потенциалов между плоскостями равна

(12.34)

(d – расстояние между плоскостями).

Примеры решения задач

Пример 12.1. Три точечных заряда Q1=2нКл, Q2 =3нКл и Q3=-4нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной длиной a=10см. Определите потенциальную энергию этой системы.

Решение:Потенциальная энергия системы зарядов равна алгебраической сумме энергий взаимодействия каждой из взаимодействующих пар зарядов, т.е.

где соответственно потенциальные энергии одного из зарядов, находящегося в поле другого заряда на расстоянии а от него, равны

; ; (2)

Подставим формулы (2) в выражение (1), найдём искомую потенциальную энергию системы зарядов

Пример 12.2. Определите потенциал в центре кольца с внутренним радиусом R1=30см и внешним R2=60см, если на нём равномерно распределён заряд q=5нКл.

Решение: Кольцо разобьём на концентрические бесконечно тонкие кольца внутренним радиусом r и внешним – (r+dr).

Площадь рассматриваемого тонкого кольца (см.рисунок) dS=2πrdr.

Потенциал в центре кольца, создаваемый бесконечно тонким кольцом,

где – поверхностная плотность заряда.

Для определения потенциала в центре кольца следует арифметически сложить dφ от всех бесконечно тонких колец. Тогда

Учитывая, что заряд кольца Q=σS, где S= π(R2 2 -R1 2 )- площадь кольца, получим искомый потенциал в центре кольца

Пример 12.3. Два точечных одноименных заряда (q1=2нКл и q2=5нКл) находятся в вакууме на расстоянии r1= 20см. Определите работу А, которую надо совершить, чтобы сблизить их до расстояния r2=5см.

Читайте также:  Как подключить регистры к паровому отоплению

Решение: Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда Q из точки поля, имеющей потенциал φ1, в точку с потенциалом φ2.

При сближении одноимённых зарядов работу совершают внешние силы, поэтому работа этих сил равна по модулю, но противоположна по знаку работе кулоновских сил:

Потенциалы точек 1 и 2 электростатического поля

; (2)

Подставив формулы (2) в выражение (1), найдём искомую работу, которую надо совершить, чтобы сблизить заряды,

Пример 12.4. Электростатическое поле создаётся положительно заряженной бесконечной нитью. Протон, двигаясь под действием электростатического поля вдоль линии напряжённости от нити с расстояния r1=2см до r2=10см, изменил свою скорость от υ1=1Мм/с до υ2=5Мм/с. Определите линейную плотность τ заряда нити..

Дано: q=1,6∙10 -19 Кл; m=1,67∙10 -27 кг; r1=2см=2∙10 -2 м; r2= 10см=0,1м; r2=5см=0,05м; υ1=1Мм/с=1∙10 6 м/с; до υ2=5Мм/с=5∙10 6 м/с.

Решение: Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении протона из точки поля с потенциалом φ1 в точку с потенциалом φ2 идёт на увеличение кинетической энергии протона

В случае нити электростатическое поле обладает осевой симметрией, поэтому

или dφ=-Edr,

тогда разность потенциалов между двумя точками, находящимися на расстоянии r1 и r2 от нити,

(учли, что напряжённость поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной нитью, ).

Подставив выражение (2) в формулу (1) и учитывая, что , получим

Откуда искомая линейная плотность заряда нити

Пример 12.5. Электростатическое поле создаётся в вакууме шаром радиусом R=8см, равномерно заряженными с объёмной плотностью ρ=10нКл/м 3 . Определите разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими от центра шара на расстояниях: 1) r1=10см и r2=15см; 2) r3= 2см и r4=5см..

Дано: R=8см=8∙10 -2 м; ρ=10нКл/м 3 =10∙10 -9 нКл/м 3 ; r1=10см=10∙10 -2 м;

Решение: 1) Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстоянии r1 и r2 от центра шара.

(1)

где – напряжённость поля, создаваемого равномерно заряженным с объёмной плотностью ρ шаром, в любой точке, лежащей вне шара на расстоянии r от его центра.

Подставив это выражение в формулу (1) и проинтегрировав, получим искомую разность потенциалов

2) Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстоянии r3 и r4 от центра шара,

(2)

где – напряжённость поля, создаваемого равномерно заряженным с объёмной плотностью ρ шаром, в любой точке, лежащей внутри шара на расстоянии r от его центра.

Подставив это выражение в формулу (2) и проинтегрировав, получим искомую разность потенциалов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ (СИЛЫ) ТОКА .

ЗАКОН ОМА ДЛЯ УЧАСТКА ЦЕПИ: величина (сила) тока, текущего по однородному (в смысле отсутствия сторонних сил) металлическому проводнику, пропорциональна падению напряжения U на проводнике , где R – сопротивление проводника.

РЕЗИСТОРОМ называется устройство, обладающее заданным постоянным сопротивлением.

НАПРЯЖЕНИЕ НА РЕЗИСТОРЕ .

ЗАКОН ОМА ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО УЧАСТКА ЦЕПИ

, где j1 и j2 – потенциалы концов участка Е12 – э.д.с., действующая на данном участке цепи.

ЗАКОН ОМА ДЛЯ ЗАМКНУТОЙ ЦЕПИ , где Е – суммарная э.д.с., действующая в цепи, R – суммарное сопротивление всей цепи.

РАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПЬЮ называется электрическая цепь, имеющая узлы.

УЗЛОМ называется точка, в которой сходится более чем два проводника. Ток, текущий к узлу, принято считать положительным, а ток, текущий от узла, считается отрицательным.

ПЕРВОЕ ПРАВИЛО КИРХГОФА: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю = 0.

ВТОРОЕ ПРАВИЛО КИРХГОФА: в каждом из замкнутых контуров, которые можно мысленно выделить в данной разветвленной цепи, алгебраическая сумма падений напряжения равна алгебраической сумме э.д.с.

.

При анализе разветвленной цепи следует обозначать с одним индексом ток, протекающий по всем последовательно соединенным элементам от одного узла до другого. Направление каждого тока выбирается произвольно.

Читайте также:  Блок управления светом лада калина

При составлении уравнений второго правила Кирхгофа токам и э.д.с. нужно приписывать знаки в соответствии с выбранным (как вам удобно) НАПРАВЛЕНИЕМ ОБХОДА:

  • ток принято считать положительным, если он совпадает с направлением обхода, и отрицательным, если он направлен против этого направления;
  • э.д.с. считается положительной, если ее действие (создаваемый ею ток) совпадает с направлением обхода.

КОЛИЧЕСТВО УРАВНЕНИЙ первого правила Кирхгофа должно быть на одно меньше количества узлов в данной цепи. Количество независимых уравнений второго правила Кирхгофа должно быть таким, чтобы общее количество уравнений оказалось равным количеству различных токов. Каждый новый контур при этом должен содержать хотя бы один участок цепи, не вошедший в уже рассмотренные контуры.

МЕТОДИКА и ПОРЯДОК ИЗМЕРЕНИЙ

В данной лабораторной работе исследуется модель простейшей разветвленной электрической цепи, состоящей из трех источников э.д.с., подключенных параллельно к одному резистору (нагрузке).

Закройте окно теории. Внимательно рассмотрите рисунок, найдите все регуляторы и другие основные элементы и зарисуйте их в конспект.

Нарисуйте в конспекте эквивалентную схему цепи, расположив источники один под другим и учитывая наличие внутреннего сопротивления у каждого источника. Укажите знаки э.д.с., направления токов в каждом участке и направления обхода каждого замкнутого контура. Составьте систему уравнений для нахождения токов в каждом участке.

ИЗМЕРЕНИЯ

Соберите на экране заданную эквивалентную цепь. Для этого сначала щелкните левой кнопкой мыши над кнопкой э.д.с. в нижней части экрана. Переместите маркер мыши на рабочую часть экрана, где расположены точки. Ориентируйтесь на рисунок схемы в описании к данной ЛР. Щелкните левой кнопкой мыши в рабочей части экрана, где будет расположен первый источник э.д.с. Переместите маркер мыши вниз на одну клетку и снова щелкните левой кнопкой под тем местом, где расположился первый источник. Там появится второй источник э.д.с. Аналогично разместите и третий источник.

Разместите далее последовательно с каждым источником резистор, изображающий его внутреннее сопротивление (нажав предварительно кнопку R в нижней части экрана) и амперметр (кнопка А там же). Затем расположите резистор нагрузки и последовательно соединенный с ним амперметр. Под нагрузкой расположите вольтметр, измеряющий напряжение на нагрузке.

Подключите соединительные провода. Для этого нажмите кнопку провода внизу экрана, после чего переместите маркер мыши в рабочую зону схемы. Щелкните левой кнопкой мыши в точке, где проходит провод.

Установите значения параметров для каждого элемента. Для этого щелкните левой кнопкой мыши на кнопке со стрелкой. Затем щелкните на данном элементе. Подведите маркер мыши к движку появившегося регулятора, нажмите на левую кнопку мыши и, удерживая ее в нажатом состоянии, меняйте величину параметра и установите числовое значение, равное взятому из таблицы 1 для вашего варианта.

Установите сопротивления резистора нагрузки R = 1 Ом. Измерьте значения всех токов и напряжения на нагрузке (щелкнув мышью по кнопке «Счет») и запишите их в таблицу 2. Меняя сопротивление R, повторите измерения параметров и заполните таблицу 2.

Таблица 1. Значения э.д.с. и внутреннего сопротивления источников (не перерисовывать)

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *